A descoberta das grandezas irracionais: um dos grandes feitos dos pitagóricos foi à descoberta dos números irracionais. Os primeiros matemáticos acreditavam que cada ponto de uma reta qualquer correspondia a um número racional, porém os pitagóricos provaram que no caso de um ponto P onde o segmento OP seja a diagonal de um quadrado, com lados medindo uma unidade, não há um número racional correspondente. Então, novos números tiveram que ser inventados para associá-los a esses pontos, os números irracionais (números não-racionais). A descoberta desses números foi um grande marco para a história da matemática.
Quadrado de lados medindo uma unidade e diagonal medindo raiz quadrada de dois (número irracional)
No início essa descoberta foi muito perturbadora para os pitagóricos, pois sua filosofia acreditava que tudo dependia dos números inteiros. Tão grande foi o “escândalo lógico” que por algum tempo tentou-se manter o segredo em absoluto sigilo. Algumas lendas de historiadores contam que o pitágorico Hipaso (ou talvez outro) foi lançado ao mar por revelar o segredo dos números irracionais a estranhos. Outras versões contam também que ele foi banido da comunidade pitagórica e a ele foi construído um túmulo, simbolizando sua morte.
Aritmética pitagórica: o inicio do desenvolvimento da teoria dos números (faceta abstrata do estudo dos números) e também as bases do futuro misticismo numérico foram dadas por Pitágoras e os pitagórico, através da descoberta dos números amigáveis. Dois números se dizem amigáveis se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro. O par atribuído a Pitágoras, 284 e 220, são amigáveis porque os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma é 284, e os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 cuja soma é 220. Na época esses dois números tornaram-se místicos, com superstição que dois talismãs com esses números selariam uma amizade perfeita entre os que usassem. Os dois números adquiriram um papel muito importante na magia, na feitiçaria, na astrologia e na determinação dos horóscopos. Todos os números amigáveis inferiores a um bilhão já foram encontrados. Também se atribuem aos pitagóricos a descoberta dos números perfeitos, deficientes e abundantes que representam ligações místicas essenciais à numerologia. Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores próprios, deficiente se excede a soma de seus divisores próprios e abundantes se é menor que a soma de seus divisores próprios. Dizia-se então que Deus criou o mundo em seis dias, um número perfeito, pois 1 + 2 + 3 = 6. Por outro lado, segundo Eves( 2004, p.99) toda a raça humana descende das oito almas da arca de Noé ², sendo essa criação imperfeita, pois 8 é deficiente, 1 + 2 + 4 < 8. Atribui-se aos Pitagóricos também, a descoberta dos números figurados, que se originaram com os membros mais antigos da escola. Esses números representam a ligação entre a geometria e a aritmética, pois expressam os números de pontos de algumas configurações geométricas justificando assim sua nomenclatura, como os números triangulares, os números quadrados, os números pentagonais, e assim por diante. A figura a seguir mostra alguns destes números:
Alguns números figurados
Identidades algébricas: Os gregos antigos idealizaram processos algébricos engenhosos para efetuar operações algébricas, devido à necessidade de notações algébricas adequadas. Muitas conjeturas atribuem a Pitágoras essa demonstração, e parte considerável dessa álgebra geométrica encontra-se se acha espalhada por vários dos primeiros livros dos Elementos de Euclides. Assim, o Livro II dos Elementos contém várias proposições que em realidade são identidades algébricas envolvidas numa terminologia geométrica. Parece bastante certo que essas proposições tenham sido desenvolvidas pelos primeiros pitagóricos, através de métodos de decomposição. Podemos ilustrar o método considerando uma proposição do Livro II.
A proposição quatro do Livro II estabelece geometricamente a identidade:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Demostraçao da formula do quadrado da soma de dois termos
Decompondo o quadrado de lado a + b em dois quadrados e dois retângulos de áreas a², b², AB e BA. O enunciado de Euclides para esta preposição é:
Dividindo-se uma reta em duas partes, o quadrado sobre a reta toda é igual a soma dos quadrados sobre as partes juntamente com o dobro do retângulo contido pelas partes.
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