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segunda-feira, 3 de novembro de 2014

Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego, nascido em Samos, uma das ilhas do Dodecaneso, por volta de 570 a.C. Pouco se sabe sobre sua vida, pois não restaram muitos escritos originais da época, mas sabe-se por outros autores que ele era bastante ativo tanto na vida intelectual quanto politica.

O filósofo viajou pelo Egito e Babilônia possivelmente indo até a Índia. Durante suas perigrinações Pitágoras absorveu muitos conhecimentos matemáticos, astronômicos e religiosos. Ao voltar ao mundo Grego, Pitágoras estabeleceu-se em Crotona na Costa Sudeste, atual Itália, que na época era chamada Magna Grécia. Foi lá que fundou uma sociedade secreta que se assemelhava um pouco a um culto órfico exceto por suas bases matemáticas e filosóficas. A essa entidade deu-se o nome de escola Pitagórica.

Escultura de Pitágoras, importante filósofo e matemático grego

Alguns estudiosos acreditam que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Teano, que foi sua aluna. Supõem que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.

Segundo relatos, Pitágoras fugiu para Meta ponto, onde morreu talvez assassinado, com uma idade avançada entre setenta e cinco e oitenta anos de idade. A irmandade embora dispersa continuou a existir por pelo menos mais dois séculos.

A escola Pitagórica

Quando Pitágoras voltou ao mundo grego, após todas as suas peregrinações, estabeleceu-se em Crotona, na costa sudeste do que agora é a Itália, que na época era chamada de Magna Grécia. Lá Pitágoras fundou uma sociedade secreta, uma escola, na qual se aprendia que o principio de todas as coisas era o número.

Pitágoras e os pitagóricos acreditavam que Deus, quando criou o mundo, havia seguido padrões numéricos: a harmonia do Universo, o movimento dos planetas, a vida animal e a vegetal, o som, a luz, enfim, todas as coisas podiam ser explicadas por meio de números. O lema de Pitágoras era “Tudo é número”. A escola Pitagórica era politicamente conservadora e tinha um código de conduta rígido. Era imposto a seus membros o vegetarianismo, onde se proibia o consumo de carne de animais, pois acreditava-se na época que as almas dos mortos poderiam encarnar nesses corpos, caso não houvesse corpos humanos suficientes. Entre outros tabus, havia também a proibição de comer feijões, pois Pitágoras dizia serem a casa ou abrigo de alguns de seus amigos mortos. A escola Pitagórica era um centro de estudo de filosofia, matemática e ciências naturais, e também uma irmandade unida por ritos secretos e cerimoniais.

Os pitagóricos visavam o estudo dos elementos imutáveis da natureza e da sociedade. Estudavam as propriedades dos números e da aritmética, junto com a geometria, a música e a astronomia (grupo chamado de quadrivium), e também a gramática, lógica e retórica (grupo chamado trivium). Essas sete artes liberais eram consideradas essenciais como bagagem cultural de uma pessoa educada. A escola Pitagórica teve grande influencia por suas diversas doutrinas, como a filosófica, a ética e austera e por tendências políticas.

Todos os ensinamentos da doutrina pitagórica deviam ser mantidas em segredo total, caso contrário “o traidor” seria expulso da seita. Algumas histórias contam que uns dos castigos impostos aos que revelassem sua doutrina eram amarrá-los em barcos, deixando-os à deriva em alto mar, e também a construção de lápides para os traidores, simbolizando sua morte.

Dentre os principais nomes da Escola Pitagórica destacou-se Filolaus de Tarento (nasceu em 470 a. C. e morreu em 390 a. C.), Arquitas de Tarento (nasceu em 428 a. C. aproximadamente) e Hipasus de Metapontum (viveu por volta de 400 a. C.). O pitagorismo influenciou fortemente as obras de Demócrito de Abdera e Platão. Alguns séculos mais tarde houve uma revivência da Escola Pitagórica, e seus protagonistas passaram a ser chamados de neo-pitagóricos. Dentre esses destacamos Nicômaco de Gerasa, que viveu em torno do ano 100.

O teorema de Pitágoras

Esse teorema é motivo de medo ou gozação por partes dos alunos, que brincam com seu nome ou com sua fórmula, e que tem até certo pavor por não entendê-lo.

Esse teorema recebe o nome do matemático Pitágoras, e a ele é atribuída sua descoberta, porém alguns historiadores afirmam que já era conhecido pelos Babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes. Sua primeira demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras e seus seguidores. Não se confirma a informação porque nada restou sobre seus escritos, que foram destruídos pela forma que eram guardados e, também pelas constantes guerras que existiam na época, o que se sabe sobre Pitágoras, sua vida e suas descobertas matemáticas foram difundidas pelos pitágoricos e por outros matemáticos (dentre alguns, por exemplo, estão Aristóteles e Filolau). O primeiro trabalho sobre Pitágoras deve-se a Filolau quase 100 anos após a sua morte.

Voltando ao famoso teorema de Pitágoras-“que o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos”- ou –“dado um triangulo retângulo, o valor da medida da (hipotenusa) elevado ao quadrado é igual à soma das medidas dos outros dois lados (catetos), também elevados ao quadrado”. Ou seja:

(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²

Para situar o que é um triângulo retângulo:

Todo triângulo que tem um ângulo de 90°(ângulo reto) é denominado triângulo retângulo. Seus catetos são formados pelas semi-retas que formam o ângulo de 90 graus e a semi-retas que as liga a hipotenusa.

Triângulo Retângulo

Sabemos que triângulo que tem um ângulo de 90°(ângulo reto) é denominado triângulo retângulo.

Demonstração aritmética, geométrica e algébrica

O teorema de Pitágoras envolve as áreas de aritmética, geometria e álgebra. A aritmética entra nas contas das operações básicas, a geometria são os três quadrados e o triângulo retângulo e a álgebra é constatada na fórmula que é composta por letras e/ou palavras.

Demonstração aritmética do teorema de Pitágoras

Demonstração geométrica do teorema de Pitágoras

Demonstração algébrica do teorema de Pitágoras

Algumas das grandes descobertas de Pitágoras e os pitagóricos

A descoberta das grandezas irracionais: um dos grandes feitos dos pitagóricos foi à descoberta dos números irracionais. Os primeiros matemáticos acreditavam que cada ponto de uma reta qualquer correspondia a um número racional, porém os pitagóricos provaram que no caso de um ponto P onde o segmento OP seja a diagonal de um quadrado, com lados medindo uma unidade, não há um número racional correspondente. Então, novos números tiveram que ser inventados para associá-los a esses pontos, os números irracionais (números não-racionais). A descoberta desses números foi um grande marco para a história da matemática.

Quadrado de lados medindo uma unidade e diagonal medindo raiz quadrada de dois (número irracional)

No início essa descoberta foi muito perturbadora para os pitagóricos, pois sua filosofia acreditava que tudo dependia dos números inteiros. Tão grande foi o “escândalo lógico” que por algum tempo tentou-se manter o segredo em absoluto sigilo. Algumas lendas de historiadores contam que o pitágorico Hipaso (ou talvez outro) foi lançado ao mar por revelar o segredo dos números irracionais a estranhos. Outras versões contam também que ele foi banido da comunidade pitagórica e a ele foi construído um túmulo, simbolizando sua morte.

Aritmética pitagórica: o inicio do desenvolvimento da teoria dos números (faceta abstrata do estudo dos números) e também as bases do futuro misticismo numérico foram dadas por Pitágoras e os pitagórico, através da descoberta dos números amigáveis. Dois números se dizem amigáveis se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro. O par atribuído a Pitágoras, 284 e 220, são amigáveis porque os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma é 284, e os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 cuja soma é 220. Na época esses dois números tornaram-se místicos, com superstição que dois talismãs com esses números selariam uma amizade perfeita entre os que usassem. Os dois números adquiriram um papel muito importante na magia, na feitiçaria, na astrologia e na determinação dos horóscopos. Todos os números amigáveis inferiores a um bilhão já foram encontrados. Também se atribuem aos pitagóricos a descoberta dos números perfeitos, deficientes e abundantes que representam ligações místicas essenciais à numerologia. Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores próprios, deficiente se excede a soma de seus divisores próprios e abundantes se é menor que a soma de seus divisores próprios. Dizia-se então que Deus criou o mundo em seis dias, um número perfeito, pois 1 + 2 + 3 = 6. Por outro lado, segundo Eves( 2004, p.99) toda a raça humana descende das oito almas da arca de Noé ², sendo essa criação imperfeita, pois 8 é deficiente, 1 + 2 + 4 < 8. Atribui-se aos Pitagóricos também, a descoberta dos números figurados, que se originaram com os membros mais antigos da escola. Esses números representam a ligação entre a geometria e a aritmética, pois expressam os números de pontos de algumas configurações geométricas justificando assim sua nomenclatura, como os números triangulares, os números quadrados, os números pentagonais, e assim por diante. A figura a seguir mostra alguns destes números:

Alguns números figurados

Identidades algébricas: Os gregos antigos idealizaram processos algébricos engenhosos para efetuar operações algébricas, devido à necessidade de notações algébricas adequadas. Muitas conjeturas atribuem a Pitágoras essa demonstração, e parte considerável dessa álgebra geométrica encontra-se se acha espalhada por vários dos primeiros livros dos Elementos de Euclides. Assim, o Livro II dos Elementos contém várias proposições que em realidade são identidades algébricas envolvidas numa terminologia geométrica. Parece bastante certo que essas proposições tenham sido desenvolvidas pelos primeiros pitagóricos, através de métodos de decomposição. Podemos ilustrar o método considerando uma proposição do Livro II.

A proposição quatro do Livro II estabelece geometricamente a identidade:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Demostraçao da formula do quadrado da soma de dois termos

Decompondo o quadrado de lado a + b em dois quadrados e dois retângulos de áreas a², b², AB e BA. O enunciado de Euclides para esta preposição é:

Dividindo-se uma reta em duas partes, o quadrado sobre a reta toda é igual a soma dos quadrados sobre as partes juntamente com o dobro do retângulo contido pelas partes.

Resolução Geométrica de Equações Quadráticas

Em sua álgebra geométrica, os gregos se utilizam de dois métodos principais para resolver certas equações simples- o método das proporções e o método da aplicação de áreas. Há indícios de que ambos esses métodos se originam com os pitagóricos.

Os sólidos regulares: Um poliedro se diz regular se suas fases são polígonos regulares congruentes e se seus ângulos poliédricos são todos congruentes. Embora existam polígonos regulares de todas as ordens, sucede-se que só há cinco poliedros regulares diferentes. Os poliedros regulares são destinados de acordo cm o número de faces que possuem. Assim, há o tetraedro com quatro faces triangulares, o hexaedro, ou cubo, com seis faces quadradas, o octaedro com oito faces triangulares, o dodecaedro com doze faces pentagonais e o icosaedro com vinte faces triângulares.

Os cinco poliedros convexos regulares

Os primórdios da história dos poliedros regulares perdem-se nas brumas do passado. Platão apresentou uma descrição dos cinco poliedros regulares e mostrou como construir modelos desses sólidos juntando triângulos, quadrados e pentágonos para formar faces. O Timeu de Platão é pitagórico Timeu de Locri, a quem possivelmente encontrou quando visitou a Itália. No trabalho de Platão, Timeu misticamente associa os quatro sólidos mais fáceis de construir o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o cubo, com quatro “elementos” primordiais empedoclianos de todos os corpos matérias, fogo, ar, água e terra. Contornava-se a dificuldade embaraçosa em explicar o quinto sólido o dodecaedro, associando-o ao Universo que nos cerca.

Curiosidades

Ditos Pitagóricos

"Tudo é número"

"Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste en cometê-las."

"A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus."

"A vida é como uma sala de espectáculos: entra-se, vê-se e sai-se. "

"A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus."

"Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem".

"O que fala, semeia - o que escuta, recolhe".

"Ajuda teus semelhantes a levantar sua carga, mas não a carregues".

"Educai as crianças e não será preciso punir os homens".

Árvore Pitagórica

Trata-se de uma figura fractal construída a partir da figura representativa do Teorema de Pitágoras (triângulo retângulo cujos catetos e hipotenusas são dados pelo terno pitagórico fundamental 3, 4 e 5).

Fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, em escalas cada vez menores, mesmo limitados a uma área finita.

Construção:

O primeiro estágio consiste da figura representativa do Teorema de Pitágoras, constituída por um triângulo retângulo e os três quadrados desenhados sobre os lados.
No segundo estágio são desenhados dois triângulos retângulos com hipotenusas coincidentes com os lados dos quadrados menores, em oposição ao primeiro triângulo. Sobre os catetos destes triângulos retângulos são desenhados quadrados, e assim temos mais duas figuras representativas do Teorema de Pitágoras.
No terceiro estágio obtemos mais quatro triângulos, e assim sucessivamente.

A figura da Árvore de Pitágoras nos recorda que a Matemática é às vezes comparada com uma árvore, com raízes (Fundamentos da Matemática), tronco (estruturas numéricas e geométricas) e galhos (os principais são a Álgebra, a Análise e a Geometria).

Vista frontal: